Wahrscheinlichkeiten im Kopf, warum Lotto und Versicherung derselben Kurve folgen

Der Ausgangsbefund

01Ein Los und eine Prämie aus derselben Arbeit

1979 haben Daniel Kahneman und Amos Tversky in ihrer Arbeit über die Prospect Theory 72 Befragten eine einfache Wahl vorgelegt. Entweder eine Chance von eins zu tausend auf 5.000 Pfund oder sicher 5 Pfund. Beides ist im Schnitt gleich viel wert, denn ein Tausendstel von 5.000 Pfund sind genau 5 Pfund. Trotzdem nahmen 72 Prozent das Los.

Dann drehten die beiden die Aufgabe um. Entweder mit derselben Chance von eins zu tausend 5.000 Pfund verlieren oder sicher 5 Pfund abgeben. Jetzt zahlten 83 Prozent lieber die sicheren 5 Pfund. Im ersten Fall ist das die Entscheidung für einen Lottoschein, im zweiten die für eine Versicherungsprämie, so haben es die Autoren selbst gelesen.

Gemeint waren israelische Pfund, bei einem mittleren Familieneinkommen von etwa 3.000 Pfund im Monat, und es ging um Geld auf dem Papier. Aus derselben Arbeit stammt der Versuch mit den geschenkten 1.000 und 2.000 Pfund, den der Teil über den Referenzpunkt beschreibt.

Wer das Los nimmt, sucht ein Risiko. Wer die Prämie zahlt, meidet eines. Lange galt das als Widerspruch, denn ein Mensch sollte entweder gern oder ungern wetten. Kahneman und Tversky führten beide Entscheidungen auf eine Ursache zurück. Eine kleine Wahrscheinlichkeit zählt beim Abwägen mehr, als sie ist, und das macht das Los attraktiver und die Gefahr bedrohlicher.

Die Idee dahinter

02Was die Kurve misst, und warum sie in der Mitte zu flach liegt

Ein Entscheidungsgewicht ist das, was eine Wahrscheinlichkeit beim Abwägen tatsächlich zählt. In der Lehrbuch-Rechnung sind beide gleich, eine Chance von 10 Prozent geht mit 10 Prozent in den Wert eines Loses ein. Kahneman und Tversky haben 1979 vorgeschlagen, dass das in echten Entscheidungen nicht stimmt. 1992 haben sie eine Formel dafür geschätzt, aus den Antworten ihrer Versuchsteilnehmer.

Die Kurve hat die Form eines liegenden S. Kleine Wahrscheinlichkeiten zählen mehr, als sie sind, mittlere und große zählen weniger. Mit den geschätzten Werten wiegt eine Gewinnchance von 1 Prozent so viel wie eine von 5,5 Prozent. Eine Chance von 50 Prozent wiegt dagegen nur wie 42 Prozent. Gleich sind Gewicht und Wahrscheinlichkeit nur an einer Stelle, bei rund einem Drittel.

Daraus folgt ein Muster mit vier Ecken. Bei kleinen Wahrscheinlichkeiten sucht man das Risiko, wenn ein Gewinn lockt, und meidet es, wenn ein Verlust droht. Bei großen Wahrscheinlichkeiten dreht sich beides. Einen fast sicheren Gewinn nimmt man lieber, als um mehr zu spielen, und gegen einen fast sicheren Verlust wettet man lieber, als ihn hinzunehmen. Verwandt damit ist, dass Aktien im Minus länger gehalten werden als Aktien im Plus, das zeigt der erste Teil dieser Serie an echten Depots.

Wichtig ist eine Unterscheidung, auf die schon die Arbeit von 1979 Wert legt. Übergewichten ist etwas anderes als Überschätzen. Die Befragten kannten die Wahrscheinlichkeit, sie stand in der Aufgabe, und sie haben ihr trotzdem mehr Gewicht gegeben. Im Alltag kommt oft beides zusammen. Man hält ein seltenes Ereignis für häufiger, als es ist, und gewichtet es dann noch einmal zu stark.

Aus dem Feld

03Selbstbeteiligung und Spielschein, gemessen an echtem Geld

Ob die Kurve außerhalb des Labors gilt, haben Levon Barseghyan, Francesca Molinari, Ted O'Donoghue und Joshua Teitelbaum an echten Versicherungsverträgen geprüft. Sie haben ausgewertet, welche Selbstbeteiligung 4.170 amerikanische Haushalte gewählt haben, die 2005 oder 2006 Auto und Haus beim selben großen Versicherer abgeschlossen hatten. Wer eine niedrigere Selbstbeteiligung wählt, zahlt eine höhere Prämie und bekommt im Schadenfall etwas mehr erstattet.

Schäden waren selten. Bei der Kaskoversicherung für Schäden ohne Zusammenstoß, etwa durch Diebstahl oder Hagel, lag die Wahrscheinlichkeit im Schnitt bei rund 2 Prozent im Jahr. Am besten erklären ließen sich die Entscheidungen so, als zählte eine Schadenwahrscheinlichkeit von 2 Prozent wie 8 Prozent. Eine von 10 Prozent zählte wie 16 Prozent. Die Verzerrung der Wahrscheinlichkeit erklärte dabei einen größeren Teil der Vorsicht als eine allgemeine Scheu vor Risiko.

Auffällig ist, wie nah das am Labor liegt. Die Formel von 1992 gibt einer Chance von 2 Prozent ein Gewicht von gut 8 Prozent. Bei größeren Wahrscheinlichkeiten liegt die Schätzung aus den Policen etwas darunter. Die genannten Werte stammen aus der Fassung als Arbeitspapier von 2011, veröffentlicht wurde die Studie 2013 im American Economic Review.

In Deutschland lässt sich die andere Seite an einem Spielschein ablesen. Ein Feld bei Lotto 6aus49 kostet 1,20 Euro, dazu kommt eine Bearbeitungsgebühr je Spielschein. Die Chance auf den Höchstgewinn liegt bei 1 zu 139.838.160. Ausgeschüttet werden 50 Prozent der Spieleinsätze, von jedem Euro kommen also im Schnitt 50 Cent zurück.

Wer jeden Samstag zwei Felder spielt, setzt im Jahr 124,80 Euro ein und bekommt im Schnitt 62,40 Euro zurück. Die Chance steht dabei auf jedem Schein, unbekannt ist sie niemandem. Wie Kontodaten aus Island im Teil über die mentale Buchführung zeigen, läuft Lotto außerdem auffällig oft über das Konto im Minus, also zu den Zinsen des Dispos.

Im Depot

04Aktien, die sich wie ein Los anfühlen

Übergewichten viele Anleger dieselbe kleine Chance, hat das Folgen für Preise. Nicholas Barberis und Ming Huang haben 2008 durchgerechnet, was dann passiert. Ein Wertpapier mit einer kleinen Chance auf einen sehr großen Gewinn kann teurer gehandelt werden, als seine Aussichten rechtfertigen, und im Schnitt sogar weniger einbringen als eine sichere Anlage. Im Preis steckt dann die Hoffnung, und wer kauft, bezahlt sie mit.

Die Daten passen zu dieser Rechnung. Turan Bali, Nusret Cakici und Robert Whitelaw haben US-Aktien danach sortiert, wie hoch ihr bester Tagesgewinn im Vormonat war. Das Zehntel mit den größten Sprüngen brachte danach im Schnitt mehr als 1 Prozent im Monat weniger als das Zehntel mit den kleinsten, auch nach Abzug der üblichen Risikofaktoren. Das ist ein Durchschnitt über Tausende Aktien und Jahrzehnte, keine Aussage über eine einzelne Aktie und keine Regel für den nächsten Monat.

Wer solche Aktien kauft, hat Alok Kumar an den Depots amerikanischer Privatanleger untersucht. Er erkennt Lotterie-Aktien an drei Merkmalen, einem niedrigen Kurs, starken Schwankungen und seltenen, sehr großen Ausschlägen nach oben. Privatanleger halten sie überdurchschnittlich oft, und am stärksten dort, wo auch mehr Geld in staatliche Lotterien fließt. Weil diese Aktien im Schnitt schlechter abschneiden, ist der Nachteil bei Anlegern mit niedrigem Einkommen am größten, die sie besonders stark gewichten.

Dass ein Teil des Handelns Spiel ist, zeigt auch eine Studie mit deutschen Depotdaten. Anne Dorn, Daniel Dorn und Paul Sengmueller haben unter anderem Kunden eines deutschen Direktbrokers beobachtet. In Wochen mit besonders hohen Lottogewinnen handelten sie seltener. Über alle Stichproben der Studie betraf das Einzelaktien und Optionen, nicht Anleihen und Fonds. Lottoschein und Order greifen dort offenbar auf dasselbe Budget zu.

Die Gegenrechnung

05Wo sich die Kurve umdreht, und wo die Prämie richtig ist

Die Kurve gilt nicht immer, und ihre wichtigste Grenze hängt daran, wie man eine Wahrscheinlichkeit kennenlernt. In den Versuchen von 1979 und 1992 stand sie als Zahl in der Aufgabe. Für sehr kleine Wahrscheinlichkeiten schrieben Kahneman und Tversky selbst, dass sie entweder übergewichtet oder ganz übergangen werden. Wann das eine und wann das andere passiert, hat eine Studie von 2004 genauer gezeigt.

Ralph Hertwig, Greg Barron, Elke Weber und Ido Erev haben dieselbe Art Aufgaben 100 Studenten in Haifa vorgelegt. Die eine Hälfte las die Wahrscheinlichkeiten. Die andere Hälfte sah sie nicht und musste die Möglichkeiten erst ausprobieren, indem sie am Bildschirm Ergebnisse zog. In einer Aufgabe gab es entweder mit 80 Prozent Wahrscheinlichkeit 4 Geldeinheiten oder sicher 3. Von denen, die gelesen hatten, nahmen 36 Prozent das Risiko, von denen, die probiert hatten, 88 Prozent.

Wer probiert, gewichtet das seltene Ereignis also zu schwach, hier die 20 Prozent, mit denen es nichts gibt. Der Grund ist schlicht. Die Teilnehmer zogen im Median nur 15 Mal. In einer Aufgabe mit einer Chance von 10 Prozent auf einen hohen Gewinn bekamen 18 von 25 Teilnehmern diesen Gewinn kein einziges Mal zu sehen. Über alle sechs Aufgaben lag der Abstand zwischen beiden Gruppen im Schnitt bei 36 Prozentpunkten.

Für Anleger ist das die gefährlichere Hälfte. Wer einen Kurseinbruch nur aus eigener Erfahrung kennt und lange gute Jahre erlebt hat, hat das seltene Ereignis nie gezogen. Dieselbe Person kann eine beschriebene Gefahr übergewichten und eine nur erlebte unterschätzen. Wie stark Kurse tatsächlich schwanken, steht im Artikel über Volatilität.

Die zweite Grenze betrifft die Versicherung selbst. Eine Prämie über dem erwarteten Schaden ist kein Fehler, wenn der Schaden ruinieren würde. Jeder Versicherer muss mehr einnehmen, als er im Schnitt auszahlt, und eine Haftpflicht schützt trotzdem vor einem Betrag, den kein Haushalt tragen kann. Warum das Teilen eines Risikos beide Seiten besser stellt, erklärt der Artikel über Versicherungen als geteiltes Risiko. Teuer wird die Kurve erst dort, wo der Schaden klein ist und die Prämie trotzdem gezahlt wird.

Beim Lotto kauft mancher auch gar keinen Erwartungswert, er kauft einen Abend mit einer Vorstellung. Wer den Einsatz als Ausgabe für Unterhaltung bucht und begrenzt, macht keinen Rechenfehler. Teuer wird es, wenn der Einsatz als Weg zum Vermögen gilt oder mit dem Jackpot wächst.

Was es kostet

06Was sich in Euro und Prozent beziffern lässt, und wie fest der Befund steht

Am klarsten ist die Rechnung beim Lotto. Von jedem eingesetzten Euro kommen im Schnitt 50 Cent zurück, die andere Hälfte sieht kein Spieler wieder. Bei den amerikanischen Policen nennen die Autoren den Preis als verzerrte Wahrscheinlichkeit, nicht als Betrag in Euro. Für Deutschland haben wir keine vergleichbare Auswertung von Selbstbeteiligungen gefunden. Im Depot liegt der beste Anhaltspunkt bei dem Abstand von mehr als 1 Prozent im Monat aus den US-Daten, als Durchschnitt über viele Jahre.

Wie belastbar die Grundlage ist, hat eine große Wiederholung geprüft. Kai Ruggeri und Kollegen haben die Aufgaben von 1979 im Jahr 2019 rund 4.100 Menschen in 19 Ländern vorgelegt und 2020 veröffentlicht. 94 Prozent der Einzelbefunde hielten. Die meisten fielen aber schwächer aus als im Original, 77 Prozent der gemessenen Effekte waren kleiner.

Gerade das Paar aus Los und Prämie streute am stärksten. Der Gegensatz zwischen beiden Aufgaben bestätigte sich nur in 63 Prozent der Länder. Dass eine kleine Chance übergewichtet wird, steht damit. Wie stark, hängt von Land, Aufgabe und Darstellung ab, und ob es sich umkehrt, davon, wie man die Wahrscheinlichkeit kennt.

Häufige Fehler

07Wo die Kurve zu falschen Schlüssen verleitet

Die Fehler entstehen selten beim einzelnen Schein oder bei der einzelnen Police. Sie entstehen, wenn aus dem Muster eine Regel für alles gemacht wird.

Die vier häufigsten:

• Glauben, wer die Chance kennt, sei geschützt. Die Befragten von 1979 kannten sie, sie stand in der Aufgabe. Übergewichten ist etwas anderes als Überschätzen.
• Jede Police für einen Fehler halten, deren Prämie über dem erwarteten Schaden liegt. Gegen einen Schaden, der dich ruinieren würde, ist sie richtig. Teuer ist die Police für den Schaden, den ein Notgroschen trägt.
• Annehmen, Seltenes wiege in der Entscheidung immer zu viel. Wer eine Gefahr nur aus eigener Erfahrung kennt, gewichtet sie oft zu wenig, und dazu gehört ein Kurseinbruch nach langen guten Jahren.
• Einen großen Tagesgewinn für Schwung halten. In US-Daten brachten Aktien mit dem größten Tagessprung im Vormonat danach im Schnitt weniger. Für eine einzelne Aktie folgt daraus nichts, für die Neigung, Sprüngen hinterherzukaufen, schon.

Entscheidungshilfe

08Vier Fragen vor einer kleinen Chance oder einer kleinen Police

Gegen die Kurve hilft kein Vorsatz, denn sie wirkt auch bei denen, die sie kennen. Was hilft, ist die Chance in Euro zu übersetzen, bevor man entscheidet.

Vor dem Abschluss oder dem Kauf:

• Würde mich der Schaden ruinieren? Wenn nicht, trägt ein Notgroschen ihn meist billiger als eine Police.
• Was kostet die kleinere Selbstbeteiligung im Jahr, und was spart sie im Schadenfall? Den gesparten Betrag mit der Schadenwahrscheinlichkeit malnehmen und mit der Mehrprämie vergleichen.
• Wie viel vom Einsatz kommt im Schnitt zurück? Beim Lotto ist es die Hälfte. Bei anderen Angeboten mit einer kleinen Chance auf viel steht es oft nur im Kleingedruckten oder gar nicht.
• Woher kenne ich die Wahrscheinlichkeit? Gelesene Gefahren werden eher zu stark gewichtet, nur erlebte eher zu schwach.

Einordnung

09Eine Kurve, zwei gegensätzliche Käufe

Lottoschein und Kleinpolice sehen aus wie zwei Charaktere, ein Spieler und ein Vorsichtiger. Tatsächlich folgen beide derselben Kurve, die kleine Chancen größer macht, als sie sind. Gesehen wird der eine Schadenfall, bei dem die Police geholfen hat. Nicht gesehen werden bei einer Schadenwahrscheinlichkeit von 2 Prozent die übrigen rund 49 von 50 Jahren, in denen sie nur Beitrag war.

Wer das weiß, muss weder aufs Lotto noch auf Versicherungen verzichten. Er weiß nur, was er kauft, einen Abend, einen Schutz vor dem Ruin oder eine Chance, die sich größer anfühlt, als sie ist.