Fette Ränder statt Glockenkurve, wie oft extreme Börsentage wirklich kommen

Die Kurve

01Was die Glockenkurve über einen Börsentag behauptet

Die meisten Tage an der Börse sind unspektakulär. Der DAX schließt ein paar Zehntel über oder unter dem Vortag, und nur selten steht abends eine große Zahl auf der Anzeigetafel. Die einfachste Art, das in eine Rechnung zu fassen, ist die Normalverteilung, die Form, die man als Glockenkurve kennt. Sie legt fast alle Werte eng um den Durchschnitt und lässt große Abweichungen mit jedem Schritt nach außen sehr schnell seltener werden.

Wie groß ein Schritt ist, gibt die Standardabweichung an, also die typische Größe einer Tagesbewegung. Im DAX lag sie von Januar 1990 bis Dezember 2025 bei 1,37 Prozent. Wie diese Schwankungszahl entsteht und warum sie nicht dasselbe ist wie das Risiko, einen Verlust dauerhaft zu tragen, erklärt der Teil über Volatilität in „Börse verstehen“.

Die Glockenkurve macht aus dieser einen Zahl eine Wartezeit. Eine Bewegung von drei Standardabweichungen in eine Richtung kommt nach ihr etwa alle drei Jahre vor. Für vier Standardabweichungen sind es rund 126 Jahre, für fünf schon rund 13.900 Jahre. So haben es Kevin Dowd und drei Koautoren 2008 nachgerechnet, mit 250 Handelstagen im Jahr. Auf den DAX übertragen heißt das, ein Tag mit 5 Prozent Minus dürfte nur etwa alle 33 Jahre vorkommen.

Die Zählung

0237 Tage, wo die Kurve einen erwartet

Gezählt sieht es anders aus. Von Januar 1990 bis Dezember 2025 hatte der DAX 9.107 Handelstage. An 37 dieser Tage schloss er 5 Prozent oder mehr unter dem Vortag. Die Glockenkurve, gerechnet mit dem Durchschnitt und der Standardabweichung genau dieser Tage, erwartet in derselben Zeit 1,1 Tage dieser Art.

Je weiter man nach außen geht, desto größer wird der Abstand. Tage mit 7 Prozent Minus oder mehr gab es acht, nach der Kurve wäre einer etwa alle 27.000 Jahre fällig. Ein Tag mit mehr als 10 Prozent Minus kam einmal vor, am 12. März 2020. Die Kurve setzt dafür eine Wartezeit von rund 30 Milliarden Jahren an.

Auch die Mitte passt nicht. Gut die Hälfte aller Tage lag näher als eine halbe Standardabweichung am Durchschnitt, die Glockenkurve erwartet dort 38 Prozent. Die echte Verteilung ist also in der Mitte spitzer und an den Rändern dicker als die Kurve, und vom Rand hat sie ihren Namen. Nach oben sieht es ähnlich aus, bis Ende 2025 gab es 38 Tage mit 5 Prozent Plus oder mehr.

Die Herkunft

03Baumwollpreise und ein Befund aus dem Jahr 1963

Neu ist das nicht. Benoît Mandelbrot hat 1963 im Journal of Business Baumwollpreise und weitere Marktpreise untersucht. Große Preisänderungen kamen dort viel zu oft vor, um zur Glockenkurve zu passen. Er schlug statt ihrer eine Familie von Verteilungen vor, deren Ränder so dick sind, dass sich die Schwankung gar nicht mehr als feste Zahl angeben lässt.

Wäre das richtig, wäre die Standardabweichung als Maß wertlos, denn sie würde mit jedem neuen großen Tag weiter wachsen. Genau an dieser Folgerung entzündete sich der Streit der nächsten Jahrzehnte.

Der Replikationsstand

04Der dicke Rand hat gehalten, Mandelbrots Formel nicht ganz

Robert Officer hat 1972 im Journal of the American Statistical Association Aktienrenditen erneut untersucht. Seine Renditen hatten dickere Ränder als die Glockenkurve. Mehrere Eigenschaften passten aber nicht zu Mandelbrots Verteilungen, und die Standardabweichung erwies sich als brauchbares Maß für die Schwankung.

Parameswaran Gopikrishnan und drei Koautoren haben 1998 rund 40 Millionen Datenpunkte aus dem Handel aller Aktien an drei großen US-Börsen in den Jahren 1994 und 1995 ausgewertet. Ihr Befund ist als kubisches Gesetz bekannt geworden. Verdoppelt sich die Größe eines großen Ausschlags, wird er etwa achtmal seltener. Nach der Glockenkurve würde er bei jeder Verdopplung um viele Größenordnungen seltener, nach Mandelbrots Verteilungen dagegen langsamer, als die Daten zeigen.

Rama Cont hat 2001 in Quantitative Finance elf Eigenschaften zusammengestellt, die über viele Märkte und Zeiträume wiederkehren. Dazu gehören die dicken Ränder, die Häufung großer Ausschläge und dass die Ränder über längere Zeiträume dünner werden. Eine Gruppe um Ethan Ratliff-Crain hat die Liste 2023 an Daten der 30 Dow-Jones-Werte von Oktober 2018 bis März 2019 erneut geprüft, bisher als Vorabveröffentlichung. Acht der elf Eigenschaften bestätigten sich, darunter alle drei genannten. Nicht bestätigt hat sich unter anderem, dass große Verluste häufiger seien als große Gewinne.

Im DAX zeigt sich dasselbe. Den 22 Tagen mit mehr als vier Standardabweichungen Minus stehen 26 Tage mit ebenso viel Plus gegenüber. Dass die Ränder dick sind, gehört damit zu den am besten belegten Befunden über Finanzmärkte. Wie dick genau, hängt bis heute an Daten und Methode.

Die Häufung

05Warum acht ruhige Jahre wenig über das neunte sagen

Die 37 großen Minustage verteilen sich nicht gleichmäßig. In 24 von 36 Jahren gab es keinen einzigen, allein 2002 und 2008 brachten je acht. Zwischen 2012 und 2019 kam genau einer, am 24. Juni 2016, dem Tag nach der Brexit-Abstimmung, mit 6,8 Prozent Minus. Im März 2020 folgten dann vier innerhalb von acht Handelstagen.

Wer in diesen acht ruhigen Jahren seine Erwartungen gebildet hat, hat den großen Tag fast nie erlebt. Für ihn passt die Glockenkurve zu allem, was er kennt. Warum ein seltenes Ereignis zu schwach gewichtet wird, wenn man es nur aus eigener Erfahrung kennt, zeigt der Teil über verzerrte Wahrscheinlichkeiten mit einem Versuch von 2004. Die Börse liefert dafür den passenden Stoff, denn ihre großen Tage kommen in Schüben und lassen dazwischen lange Pausen.

Wer nur ruhige Jahre zählt, sieht die Tage nicht, die sich erst über Jahrzehnte zu einer Zahl summieren. Die Schwankung der Jahre 2012 bis 2019 lag bei 1,09 Prozent am Tag, also unter der der ganzen Reihe. Mit dieser kleineren Zahl käme ein Tag mit 5 Prozent Minus nach der Glockenkurve nur etwa alle 2.200 Jahre. Die ruhige Zeit macht die Rechnung also nicht vorsichtiger, sondern sorgloser.

Der Zeitraum

06Über Monate und Jahre wird die Kurve gerader

Über längere Zeiträume gleichen sich viele Tagesausschläge aus. Bei den Monatswerten des DAX von 1990 bis 2025 gab es fünf Monate mit einem Minus von mehr als drei Standardabweichungen. Nach der Glockenkurve wären es 0,6 Monate gewesen. Der Überschuss ist kleiner als bei den Tagen, aber er ist da. Der schlechteste Monat war der September 2002 mit 25,4 Prozent Minus.

Bei den Jahreswerten liegt der DAX nah an der Glockenkurve. Das schlechteste Jahr war 2002 mit 43,9 Prozent Minus, danach kam 2008 mit 40,4 Prozent. Nur reichen 36 Jahreswerte kaum, um einen Rand zu sehen, denn ein Jahr, das nach einer Kurve alle hundert Jahre vorkommt, fehlt in 36 Jahren leicht.

Für eine Rechnung über Jahrzehnte, etwa für einen Sparplan, ist die Glockenkurve deshalb ein brauchbares Werkzeug für die Mitte der möglichen Ergebnisse. Für die Frage, was an einem einzelnen Tag oder in einer einzelnen Woche passieren kann, taugt sie nicht.

Der Schwarze Schwan

07Der Schwarze Schwan, und was er nicht ist

Nassim Taleb hat den Begriff 2007 mit seinem Buch The Black Swan bekannt gemacht. Gemeint ist ein Ereignis mit drei Merkmalen. Es ist nicht vorhersehbar, es hat sehr große Folgen, und hinterher wird eine Geschichte dazu erzählt, die es vorhersehbarer aussehen lässt, als es war.

Der Schwarze Schwan ist seitdem ein Etikett für jeden großen Börsentag geworden, und dabei geht der Kern verloren. Ein Tag mit 5 Prozent Minus kommt im DAX nach der Zählung im Schnitt etwa einmal im Jahr. Selbst der 12. März 2020 war nicht der größte Tagesverlust in der Geschichte des Index, am 16. Oktober 1989 waren es laut Deutscher Börse 12,81 Prozent. Überraschend ist so ein Tag vor allem für jemanden, der mit der Glockenkurve rechnet. Wer die Ränder zählt, weiß, dass er kommt.

Wann er kommt, sagt auch die dickste Verteilung nicht. Sie beschreibt, wie groß und wie oft, und liefert keinen Termin. Der einzelne Tag bleibt ein Einzelfall im Sinn des Teils über Risiko und Ungewissheit, für ihn gibt es keine gezählte Wahrscheinlichkeit.

Wie das Etikett zur Entschuldigung werden kann, zeigt ein Fall vom August 2007. Der Finanzchef von Goldman Sachs, David Viniar, erklärte die Verluste eines großen Hausfonds laut Financial Times mit Bewegungen von 25 Standardabweichungen, mehrere Tage hintereinander. Der Fonds lag seit Jahresbeginn 27 Prozent im Minus. Dowd und seine Koautoren haben ausgerechnet, wie oft so ein Tag nach der Glockenkurve vorkäme, nämlich einmal in rund 1,3 mal 10 hoch 135 Jahren. Mit Pech lässt sich das nicht erklären. Das Modell hatte die Ränder zu dünn gezeichnet.

Was es kostet

08Was der dünne Rand kostet, mit Hebel und ohne

Am deutlichsten wird der Preis beim Hebel. Ein Produkt mit zwanzigfachem Hebel bewegt sich ungefähr zwanzigmal so stark wie der DAX, ein Tag mit 5 Prozent Minus kostet also rechnerisch den ganzen Einsatz. Nach der Glockenkurve passiert das etwa alle 33 Jahre, gezählt kam es seit 1990 an 37 Tagen vor. Bei zehnfachem Hebel reicht ein Tag mit 10 Prozent Minus. Die Kurve setzt dafür rund 30 Milliarden Jahre an, im DAX war es der 12. März 2020.

Bei einem Knock-out-Schein ist der Einsatz sogar früher verloren, denn er verfällt, sobald der DAX im Handelsverlauf die Schwelle berührt, nicht erst zum Schluss des Tages. Bei manchen Scheinen bleibt danach ein kleiner Restwert. Warum ein Hebel auch ohne großen Tag Geld kostet, wenn der Markt nur hin und her läuft, erklärt der Teil über Hebel und Pfadabhängigkeit. Wie groß ein Einsatz höchstens sein darf, damit ein schlechter Tag nicht alles nimmt, steht im Teil über Ruinrisiko und Positionsgröße.

Für den Goldman-Fonds steht die Zahl oben, 27 Prozent bis August 2007. Für einen Sparplan ohne Hebel auf einen breiten Index kostet der dicke Rand an sich nichts, solange niemand an einem solchen Tag verkaufen muss oder will. Eine Studie, die beziffert, was der Glaube an die Glockenkurve einen privaten Anleger ohne Hebel kostet, gibt es nicht. Sichtbar wird er dort, wo jemand eine Rücklage so knapp plant, dass sie nur zu einer ruhigen Börse passt.

Praxisbeispiel

09Der 12. März 2020, mit beiden Rechnungen nachgerechnet

Am 11. März 2020 stand der DAX zum Handelsschluss bei 10.438,68 Punkten. Einen Tag später waren es 9.161,13 Punkte, ein Minus von 12,24 Prozent. Gemessen an der Standardabweichung von 1,37 Prozent sind das fast neun Standardabweichungen. Die Glockenkurve hält so einen Tag für seltener als einmal in einer Billiarde Jahren.

Ein Knock-out-Schein mit zehnfachem Hebel hatte seine Schwelle am Abend des 11. März etwa 10 Prozent unter dem Stand des DAX, also bei rund 9.400 Punkten. Am 12. März schloss der Index darunter, die Schwelle war im Lauf des Tages berührt, und 1.000 Euro Einsatz waren bis auf einen möglichen Restwert weg.

Acht Handelstage später, am 24. März, schloss der DAX 10,98 Prozent über dem Vortag. Auch das ist ein Tag am Rand, und er kam mitten in derselben Häufung. Für den Schein vom 11. März kam er zu spät.

Häufige Fehler

10Wo die Glockenkurve in die Irre führt

Die meisten Fehler stecken nicht in der Rechnung selbst, sondern in dem, was man aus einer einzigen Schwankungszahl herausliest.

Fünf Fehler mit einer Schwankungszahl

• Die Schwankungszahl als Obergrenze lesen. 1,37 Prozent am Tag beschreiben den typischen Tag des DAX. Der schlechteste seit 1990 war neunmal so groß.
• Aus ruhigen Jahren auf die nächsten schließen. Von 2012 bis 2019 gab es einen einzigen Tag mit 5 Prozent Minus, im März 2020 vier in zwei Wochen.
• Jeden großen Tag einen Schwarzen Schwan nennen. Bei 37 solcher Tage in 36 Jahren ist ein Tag mit 5 Prozent Minus etwas Erwartbares, offen ist nur der Zeitpunkt.
• Aus dicken Rändern eine Vorhersage machen. Die Zählung sagt, wie oft große Tage kommen, und nicht, dass der nächste bald fällig ist.
• Die Plusseite vergessen. Die großen Tage nach oben kamen in denselben Wochen wie die nach unten, 2008 genauso wie 2020.

Entscheidungshilfe

11Vier Fragen, bevor du mit einer Schwankungszahl rechnest

Ob eine Anlage zu dir passt, sagt dieser Artikel nicht. Er hilft, eine Rechnung zu prüfen, in der eine Schwankungszahl steckt, ob sie von einer Bank, aus einem Rechner oder von dir selbst stammt.

Vier Fragen an die Rechnung

• Über welchen Zeitraum ist die Zahl gemessen? Eine Schwankung aus fünf ruhigen Jahren ist kleiner als die aus dreißig, und die großen Tage fehlen ihr.
• Rechnet das Modell dahinter mit der Glockenkurve? Dann frag, wie oft danach ein Tag mit 5 Prozent Minus vorkommt, und halte die Antwort gegen die 37 Tage des DAX seit 1990.
• Was passiert mit deinem Einsatz an einem solchen Tag? Mit zwanzigfachem Hebel ist er weg, ohne Hebel ist es ein schlechter Tag im Depot.
• Musst du an so einem Tag verkaufen? Wer das Geld für die nächsten Monate nicht aus dem Depot braucht, für den bleibt ein Tag am Rand ein Tag.

Einordnung

12Ein Werkzeug für die Mitte, nicht für den Rand

Die Glockenkurve ist für viele gewöhnliche Tage und für Renditen über Jahre eine brauchbare Näherung. Für die wenigen großen Tage unterschätzt sie die Häufigkeit um ein Vielfaches, im DAX bei 5 Prozent Minus um mehr als das Dreißigfache. Mandelbrot hat das 1963 an Baumwollpreisen gesehen, die Zählung von 1990 bis 2025 zeigt es am DAX, und strittig ist nur noch, wie dick der Rand genau ist.

Was der Fehler kostet, hängt fast ganz daran, ob du an einem solchen Tag handeln musst. Mit Hebel ist die Rechnung schnell gemacht. Ohne Hebel und ohne Verkaufszwang bleibt vor allem die Überraschung, und die verliert ihren Schrecken, wenn man die großen Tage einmal selbst gezählt hat.