Zinseszins wird unterschätzt, warum der Kopf linear rechnet und der Sparplan nicht

Der Denkfehler

01Warum der Kopf beim Zinseszins jedes Jahr dasselbe dazurechnet

Der Kopf stellt sich Wachstum gern so vor, als käme jedes Jahr derselbe Betrag dazu. Das nennt man linear. Beim Sparen kommt aber jedes Jahr derselbe Anteil dazu, und weil der Bestand wächst, wird dieser Anteil in Euro jedes Jahr größer. Das nennt man exponentiell, und der Zinseszins ist sein Alltagsfall. Wie die Mechanik selbst funktioniert und warum Geduld dabei mehr als gleichmäßig belohnt wird, steht im Artikel über Zeit als Produktionsfaktor. Hier geht es um die Lücke zwischen dieser Rechnung und der Schätzung im Kopf.

Wie groß die Lücke ist, zeigt eine Telefonumfrage der schwedischen Finanzaufsicht aus dem Jahr 2010 unter rund 1.300 Erwachsenen. Sie sollten ohne Rechnen schätzen, was aus 100 Kronen wird, die 30 Jahre lang mit 7 Prozent im Jahr wachsen. Richtig sind 761 Kronen. Die mittlere Schätzung lag bei 410 Kronen, und fast doppelt so viele Befragte lagen zu tief wie zu hoch, 62 gegen 38 Prozent. Geantwortet hat knapp die Hälfte der Befragten.

Wer jedes Jahr nur die 7 Kronen auf die ursprünglichen 100 Kronen rechnet, landet bei 310 Kronen. Die mittlere Schätzung lag also deutlich näher an dieser einfachen Rechnung als am richtigen Wert. Den ersten Schritt macht dabei fast niemand falsch. In einer Studie mit einer für die USA repräsentativen Stichprobe rechneten drei Viertel der Teilnehmer den Wert nach einem einzigen Jahr exakt richtig aus. Der Fehler entsteht erst, wenn Jahre aufeinander folgen und der Zuwachs selbst wieder wächst.

Das Gedankenexperiment

02Das gefaltete Blatt, und warum es bis zum Mond reicht

Ein Blatt Papier ist rund 0,1 Millimeter dick, und jedes Falten verdoppelt die Dicke. Nach 10 Faltungen ist der Stapel etwa 10 Zentimeter hoch. Nach 20 Faltungen sind es rund 105 Meter. Nach 30 Faltungen wären es schon rund 107 Kilometer. Nach 42 Faltungen wären es rund 440.000 Kilometer, mehr als die Entfernung zum Mond.

Ein echtes Blatt lässt sich nur wenige Male falten, danach ist es zu dick und zu kurz. Als Gedankenexperiment zeigt es trotzdem genau die Stelle, an der die Schätzung reißt. Jede Faltung legt so viel dazu wie alle vorherigen zusammen. Die 42. Faltung allein bringt die Hälfte der ganzen Strecke, rund 220.000 Kilometer. Wer zehn Faltungen gesehen hat, sieht einen Stapel in der Höhe einer Kaffeetasse und rechnet von dort aus weiter.

Beim Sparplan ist der Effekt schwächer, weil 5 Prozent im Jahr viel weniger sind als eine Verdopplung je Schritt. Die Form ist aber dieselbe. Die späten Jahre bringen mehr als die frühen, und wer die frühen erlebt hat, bemisst die späten nach ihnen.

Die Rechnung

03Ein Sparplan über 30 Jahre, einmal im Kopf und einmal richtig gerechnet

Nimm einen Sparplan mit 100 Euro im Monat und eine Rendite von 5 Prozent im Jahr, die jedes Jahr gleich bleibt. Das ist eine runde Rechengröße, keine Erwartung für einen bestimmten Markt. Die Tabelle stellt zwei Rechnungen nebeneinander. In der Spalte ohne Erträge auf Erträge bringt jeder eingezahlte Euro jedes Jahr 5 Cent, die Erträge selbst bringen aber nichts. In der Spalte mit Zinseszins bleiben die Erträge im Depot und wachsen mit.

Nach 10 Jahren liegen beide Rechnungen nur gut 400 Euro auseinander. Nach 30 Jahren sind es rund 18.500 Euro. Wer in den ersten Jahren auf seinen Kontostand schaut, sieht also fast genau das, was die einfache Rechnung verspricht, und gewöhnt sich an ein Bild, das später nicht mehr stimmt.

Von den rund 81.500 Euro nach 30 Jahren kommt rund die Hälfte erst in den letzten zehn Jahren dazu. Im ersten Jahr bringen die Erträge 27 Euro. Im dreißigsten Jahr bringen sie rund 3.850 Euro, bei derselben Rate von 100 Euro im Monat.

Der Forschungsstand

04Was Studien über die Lücke gemessen haben

Die Psychologen Wagenaar und Sagaria veröffentlichten 1975 das erste Experiment zur Unterschätzung von Wachstum. Für das Sparen haben Craig McKenzie und Michael Liersch 2011 Studenten der University of California in San Diego nach einem Konto gefragt. Eingezahlt werden 40 Jahre lang 400 Dollar im Monat, verzinst mit 10 Prozent im Jahr. Die mittlere Antwort lag bei weniger als einem Zehntel des richtigen Betrags, rund 2,2 Millionen Dollar zu wenig.

Ein Taschenrechner auf dem Tisch änderte daran fast nichts. Die häufigste Antwort in der Gruppe mit Rechner war für zehn Jahre die Summe der Einzahlungen plus 10 Prozent. Für 20 Jahre, 30 Jahre und 40 Jahre nahmen die meisten dieser Gruppe einfach das Doppelte, Dreifache und Vierfache davon. Gerechnet wurde also genau, nur die falsche Rechnung.

Matthew Levy und Joshua Tasoff haben die Frage 2016 an einer für die USA repräsentativen Stichprobe gestellt, online, mit Geld für richtige Antworten und mit jedem Hilfsmittel, das die Teilnehmer zu Hause hatten. Rund ein Drittel rechnete faktisch so, als gäbe es keine Erträge auf Erträge. 96 Prozent unterschätzten das Wachstum zumindest teilweise. Bei Fragen zu regelmäßigen Einzahlungen lag sogar ein Drittel der Antworten unter der Summe der eingezahlten Beträge.

Der Befund steht damit auf mehreren unabhängigen Messungen, im Labor, in einer repräsentativen Online-Stichprobe und in der schwedischen Telefonumfrage. Anders als bei manchen Effekten der Verhaltensökonomie gibt es keinen Streit darüber, ob es die Lücke gibt. Offen ist, wie viel sie im echten Leben kostet, denn die Zahlen dazu stammen aus Zusammenhängen und nicht aus Experimenten mit echten Depots. Fast alle Daten kommen aus den USA, die schwedische Umfrage ist die europäische Ausnahme.

Ein Schaubild der Wachstumskurve half bei Levy und Tasoff nicht. Wer einen Online-Rechner benutzte, lag deutlich näher am richtigen Wert, das waren aber nur 6 Prozent der Teilnehmer. Alter und Bildung hatten keinen messbaren Einfluss, Erfahrung allein macht den Fehler also nicht kleiner. Bei McKenzie und Liersch wollten Studenten und Angestellte mehr sparen, sobald ihnen jemand das Wachstum über die Jahre vor Augen führte.

Was es kostet

05Was die Unterschätzung kostet, beim Warten und beim Sparen

Am teuersten wird der Fehler, wenn er den Anfang verschiebt. McKenzie und Liersch haben genau das gefragt. Zwei Leute sparen bis zur Rente in 40 Jahren, einer ab sofort 100 Dollar im Monat, der andere fängt 20 Jahre später an. Wie viel muss der Späte im Monat sparen, um gleichzuziehen? Bei 5 Prozent im Jahr sind es 365 Dollar, die häufigste und die mittlere Antwort war 200 Dollar. Die Befragten nahmen für die halbe Zeit also einfach das Doppelte.

Wie viel Vermögen auf der Strecke bleibt, lässt sich nur aus Zusammenhängen schätzen. Bei Levy und Tasoff hatten Teilnehmer ohne den Fehler bei gleichem Einkommen, Alter und gleicher Bildung 55 bis 90 Prozent mehr Erspartes als Teilnehmer, die vollständig linear rechneten. Das ist ein Zusammenhang und kein Beweis, dass der Fehler allein die Lücke verursacht. Ihr Modell schätzt den Schaden für einen mittleren US-Haushalt auf 2 bis 5 Prozent des Lebensvermögens.

Victor Stango und Jonathan Zinman fanden schon 2009 in zwei Wellen der amerikanischen Verbraucherfinanz-Erhebung, dass Haushalte mit größerem Fehler mehr Schulden machen und weniger sparen. Beim Kredit wirkt derselbe Fehler in die andere Richtung. Wer aus den Monatsraten den Zins im Kopf zurückrechnet, schätzt ihn zu niedrig, in ihrer Auswertung taten das 98 Prozent der Befragten. Der Kredit wirkt dann billiger, als er ist.

Geltungsbereich

06Wo die Beispielrechnung aufhört zu gelten

An der Börse gibt es keinen festen Zins. Bei einem Aktien-ETF entsteht derselbe Effekt trotzdem, weil Dividenden wieder angelegt werden und Kursgewinne auf einen größeren Bestand wirken. Ein thesaurierender Fonds legt die Erträge selbst wieder an. Bei einem ausschüttenden Fonds landen sie auf deinem Konto, und wieder angelegt werden sie nur, wenn du das selbst tust.

Die 5 Prozent der Tabelle kommen jedes Jahr gleich. Echte Renditen schwanken, und große Ausschläge sind häufiger, als eine glatte Kurve nahelegt, das zeigt der vorige Teil über fette Ränder statt Glockenkurve. Weil am Ende der Laufzeit der Bestand am größten ist, wiegt ein schlechtes Jahr dort in Euro am schwersten. Die Form der Rechnung bleibt, der Endstand ist aber eine Spanne und kein Punkt.

Kosten wachsen nach derselben Mechanik mit. Was 1,3 Prozentpunkte Fondskosten über drei Jahrzehnte ausmachen, rechnet der Artikel zur 72er-Regel beim Zinseszins vor. Inflation und Steuer nehmen ebenfalls einen Teil, wie viel nach der Inflation übrig bleibt, steht unter reale Rendite nach Inflation. Die Unterschätzung trifft alle drei Größen, auch Kosten und Kaufkraftverlust wachsen über Jahrzehnte stärker, als der Kopf vermutet.

Praxisbeispiel

07Ein Jahr später anfangen, am Sparplan nachgerechnet

Nimm wieder 100 Euro im Monat bei 5 Prozent im Jahr, gespart bis zu einem festen Datum in 30 Jahren. Fängt der Sparplan ein Jahr später an, fehlen 1.200 Euro Einzahlung. Am Enddatum fehlen aber rund 5.050 Euro. Statt 81.538 Euro stehen dann 76.486 Euro auf dem Konto.

Ein Jahr Aufschub nimmt nicht das erste Sparjahr weg, in dem die Erträge 27 Euro brachten. Es fehlt am Ende, wo der Bestand am größten ist und allein die Erträge rund 3.850 Euro im Jahr bringen. Was ein Jahr Aufschub kostet, sieht man nicht im Jahr des Aufschubs, sondern erst am Ende der Laufzeit. In der Rechnung von heute sind es 1.200 Euro, die man ja auch ausgeben kann, und genau so fühlt sich der Aufschub an.

Zehn Jahre Aufschub lassen sich mit einer höheren Rate ausgleichen, aber nicht im Verhältnis der Jahre. Wer 20 statt 30 Jahre spart, braucht für denselben Endstand rund 201 Euro im Monat. Linear gedacht wären es 150 Euro, weil 30 Jahre anderthalbmal so lang sind wie 20 Jahre. Mit schwankenden Jahren ist der Endstand ungewiss, das Verhältnis zwischen frühem und spätem Start folgt aber derselben Art von Rechnung. Die Folge reicht über das Sparen hinaus, denn auch die Opportunitätskosten einer Ausgabe wachsen mit jedem Jahr, in dem das Geld nicht angelegt ist.

Häufige Fehler

08Wo die Schätzung im Kopf am häufigsten danebenliegt

Die meisten Fehler beim Zinseszins sind keine Rechenfehler im engen Sinn. Sie entstehen, weil eine Rechnung, die über ein paar Jahre stimmt, auf Jahrzehnte verlängert wird.

• Den Endstand schätzen statt rechnen. Selbst mit Taschenrechner lagen Studenten bei 40 Jahren um mehr als das Zehnfache zu tief, weil sie die falsche Rechnung eintippten.
• Aus den ersten Jahren hochrechnen. Nach zehn Jahren trennen die einfache und die richtige Rechnung im Beispiel nur gut 400 Euro, die Lücke öffnet sich erst danach.
• Einen Aufschub in fehlenden Einzahlungen messen. Ein Jahr Pause kostet im Beispiel nicht 1.200 Euro, sondern rund 5.050 Euro am Ende.
• Erträge auszahlen lassen und ausgeben. Was nicht im Depot bleibt, wächst nicht mit, dann gilt die mittlere Spalte der Tabelle.
• Kosten als kleine Zahl lesen. Ein Prozentpunkt im Jahr wächst nach derselben Regel und kostet über Jahrzehnte ein Vielfaches seines Anfangswerts.
• Die Beispielrendite als Versprechen lesen. Die 5 Prozent sind eine Rechengröße, echte Jahre schwanken.

Entscheidungshilfe

09Woran du merkst, dass du gerade linear rechnest

Bevor du über eine Sparrate, einen späteren Start oder eine Pause entscheidest, helfen fünf Prüffragen. Sie sagen nicht, wie viel du sparen sollst, sondern nur, ob deine Rechnung die späten Jahre mitzählt.

• Hast du den Endstand ausgerechnet oder geschätzt? Ein Sparplan-Rechner braucht dafür eine Minute.
• Hast du mit mehr als einer Rendite gerechnet? Eine zweite, niedrigere Annahme zeigt die Spanne statt eines einzelnen Werts.
• Verschiebst du einen Start? Dann vergleiche die Endstände und nicht die fehlenden Einzahlungen.
• Bleiben die Erträge im Depot? Bei einem ausschüttenden Fonds hängt das an dir.
• Wie viel kosten Fonds und Depot im Jahr? Diese Zahl wächst genauso mit wie die Erträge.

Einordnung

10Der Fehler sitzt in der Form der Rechnung

Unterschätzt wird der Zinseszins nicht, weil Menschen schlecht rechnen. Den Schritt über ein Jahr machen die meisten richtig. Unterschätzt wird er, weil der Kopf aus den ersten Jahren eine gerade Linie zieht und die späten Jahre nach dieser Linie bemisst.

Gemessen ist das an Studenten in Kalifornien, an einer repräsentativen Stichprobe in den USA und an Erwachsenen in Schweden, und überall lag die Schätzung näher an der Geraden als am richtigen Wert. Was es in Euro kostet, zeigt sich erst am Ende einer langen Laufzeit. Bis dahin sieht jedes Jahr Aufschub billig aus.