Warum die Faustformel für Zinseszins 72 heißt und nicht 69

Der Handgriff

01Was die Regel behauptet

Die 72er-Regel beantwortet eine einzige Frage. Wenn ein Betrag jedes Jahr um einen festen Prozentsatz wächst, wie lange dauert es, bis er sich verdoppelt hat? Du teilst 72 durch den Prozentsatz und bekommst die Jahre. Bei 6 Prozent sind das 12 Jahre, bei 4 Prozent 18, bei 8 Prozent 9.

Das lässt sich in zwei Sekunden im Kopf rechnen, und genau darin liegt der Wert. Die exakte Rechnung braucht einen Taschenrechner mit Logarithmus-Taste, die Faustformel braucht nur eine Division. Wie nah beide beieinanderliegen, siehst du gleich. Bei 6 Prozent sagt die Regel 12 Jahre, tatsächlich sind es 11,9.

Ein Vorbehalt gehört sofort dazu, sonst rechnest du das Falsche aus. Die Regel gilt für einen Betrag, der einmal angelegt wird und dann liegen bleibt. Auf einen Sparplan mit monatlichen Einzahlungen lässt sie sich nicht anwenden, denn dort wächst das Depot vor allem durch neue Raten und nicht durch Zinsen. Was sich verdoppelt, ist jeder eingezahlte Euro für sich, jeder ab seinem eigenen Einzahltag.

Die Herleitung

02Die Zahl, die eigentlich hingehört, ist 69,3

Hinter der Faustformel steht eine exakte Rechnung. Gesucht ist die Zahl der Jahre, nach der aus einem Euro zwei geworden sind. Löst man diese Gleichung sauber auf, taucht eine Naturkonstante auf, der natürliche Logarithmus von 2. Er beträgt 0,6931. Multipliziert mit hundert ergibt das 69,31, und damit wäre die Regel eigentlich eine 69,3er-Regel.

Diese 69,3 ist nicht ungefähr richtig, sondern exakt, allerdings nur unter einer Bedingung. Sie gilt für stetige Verzinsung, also für den gedachten Fall, dass der Zins in jedem Augenblick gutgeschrieben wird und sofort weiter mitverzinst. Ein Sparkonto rechnet stattdessen einmal im Jahr ab, ein Fonds sammelt seine Erträge über zwölf Monate. Die Gutschrift kommt also später, und damit dauert die Verdopplung etwas länger als 69,3 geteilt durch den Zins.

Warum Zeit beim Anlegen überhaupt einen Ertrag trägt, also warum es Zinsen gibt und nicht nur Aufbewahrung, ist eine eigene Frage. Sie ist an anderer Stelle ausführlich auseinandergenommen. Hier geht es nur um das Rechenwerkzeug dafür.

Zwei Gründe

03Warum trotzdem 72 in den Büchern steht

Der erste Grund ist mathematisch. Die exakt passende Zahl ist gar keine Konstante, sie wandert mit dem Zinssatz nach oben. Je höher der Zins, desto stärker fällt ins Gewicht, dass die Gutschrift nur einmal im Jahr kommt, und desto länger dauert die Verdopplung im Vergleich zum stetigen Idealfall. Bei einem Prozent passt 69,7, bei sechs Prozent 71,4, bei zehn Prozent 72,7.

In der Tabelle siehst du, wo die 72 sitzt. Sie trifft bei 8 Prozent exakt, und im ganzen Bereich zwischen 6 und 10 Prozent liegt sie so dicht an der Wahrheit, dass der Fehler unter einem Monat bleibt. Das ist genau die Spanne, in der historisch über Kredite und Aktienrenditen gesprochen wurde.

Der zweite Grund ist der eigentliche, und er hat mit Mathematik nichts zu tun. Die Regel soll im Kopf funktionieren, also muss die Zahl sich teilen lassen. 72 geht glatt durch 2, 3, 4, 6, 8, 9 und 12 auf, also durch fast jeden Zinssatz, über den ein Mensch nachdenkt. 69 geht von den üblichen Zinssätzen nur durch 3 auf. Eine Faustformel, die man nicht im Kopf teilen kann, benutzt niemand, und dann ist die genauere Zahl die schlechtere.

Das ist die eigentliche Einsicht, und sie reicht über den Zinseszins hinaus. Eine Faustregel wird nicht danach ausgewählt, wie richtig sie ist, sondern danach, ob man sie im Kopf anwenden kann. Wer eine Faustregel danach beurteilt, wie nah sie an der exakten Rechnung liegt, misst das Falsche.

Herkunft

04Ein Kaufmann kannte die Regel 120 Jahre vor den Logarithmen

Die früheste bekannte Erwähnung steht in der Summa de arithmetica des italienischen Rechenmeisters Luca Pacioli, gedruckt 1494 in Venedig. Pacioli schreibt dort sinngemäß, wer für einen beliebigen Jahreszins wissen wolle, nach wie vielen Jahren sich das Kapital verdoppelt, solle die Regel 72 im Sinn behalten und sie stets durch den Zins teilen. Eine Begründung liefert er nicht, und das Werk ist ein Kompendium des damals bekannten Wissens, die Regel war also schon vorher unter Kaufleuten im Umlauf.

Herleiten konnte Pacioli sie gar nicht. Der Logarithmus, ohne den die Rechnung nicht aufgeht, wurde erst 1614 von John Napier veröffentlicht, also 120 Jahre später. Wie hartnäckig das Rätsel war, zeigt eine Randnotiz der Mathematikgeschichte. Noch Niccolò Tartaglia, einer der führenden Rechner des 16. Jahrhunderts, kam der Zahl 72 nicht auf den Grund. Nachzulesen ist die Stelle im Mathematik-Archiv der University of St Andrews.

Damit ist auch klar, in welcher Reihenfolge die Dinge passiert sind. Die 72 ist nicht aus der Formel abgeleitet worden, sondern umgekehrt. Jemand hat gemerkt, dass sie im Bereich der üblichen Kaufmannszinsen gut passt und sich bequem teilen lässt, und ein halbes Jahrtausend später liefert die Mathematik nach, warum das so ist.

Praxisbeispiel

05Was 1,3 Prozentpunkte Kosten in Jahren bedeuten

Marie ist 34 und hat 20.000 Euro geerbt, die bis zur Rente liegen bleiben sollen, also 31 Jahre. Sie hat zwei Fonds auf demselben Weltindex zur Auswahl. Der eine kostet 0,2 Prozent im Jahr, der andere 1,5. Beide investieren in dieselben Unternehmen, der Unterschied steht allein in der Kostenzeile.

Rechne mit 7 Prozent Rendite vor Kosten, dann bleiben netto 6,8 gegen 5,5 Prozent. Die 72er-Regel sagt 10,6 Jahre bis zur Verdopplung gegen 13,1, tatsächlich sind es 10,5 und 12,9. In den 31 Jahren schafft Marie mit dem günstigen Fonds fast drei Verdopplungen, mit dem teuren gut zwei.

In Euro sieht das so aus. Aus 20.000 werden 153.723 Euro im ersten Fall. Im zweiten sind es 105.161 Euro. Die 1,3 Prozentpunkte kosten sie 48.562 Euro, also mehr als das Doppelte dessen, was sie überhaupt eingesetzt hat. Begreifbar wird das erst über die Faustformel. Die Kosten haben Marie eine ganze Verdopplung weggenommen.

Genau das ist die Übersetzungsleistung der Regel. „1,3 Prozentpunkte" klingt nach einer Kleinigkeit, „eine Verdopplung weniger" nicht. Dieselbe Verschiebung passiert bei allen Kosten, die nicht auf der Rechnung stehen, sondern jährlich still abgezogen werden.

Die nützlichste Anwendung

06Zinssätze darfst du voneinander abziehen

Die Regel kann etwas, das kaum jemand nutzt. Weil sie mit einem einzigen Prozentsatz arbeitet, darfst du vorher zwei voneinander abziehen und bekommst eine Antwort auf eine ganz andere Frage. Nimm 6 Prozent Rendite und 2 Prozent Inflation, also ungefähr das Preisstabilitätsziel der Europäischen Zentralbank.

Der Betrag auf dem Konto verdoppelt sich nach 72 geteilt durch 6, also nach 12 Jahren. Was du dir davon kaufen kannst, verdoppelt sich erst nach 72 geteilt durch 4, also nach 18 Jahren. Sechs Jahre Unterschied, und die zweite Zahl ist die, um die es eigentlich geht. In der ersten stecken noch die Preissteigerungen drin, in der zweiten nicht mehr.

Bemerkenswert daran ist, wie gut die grobe Rechnung trifft. Streng genommen ist das Abziehen nämlich unsauber, der reale Zins liegt nicht bei 4,0 sondern bei 3,92 Prozent. Und die 72 ist bei diesem Zinsniveau ebenfalls etwas zu hoch. Beide Ungenauigkeiten zeigen in entgegengesetzte Richtungen und heben sich fast vollständig auf. 72 geteilt durch 4 ergibt 18 Jahre, exakt gerechnet sind es 18,02. Ein glücklicher Zufall, aber ein verlässlicher.

Das Ganze funktioniert auch ohne Rendite, dann beschreibt es den Wertverlust von Bargeld. Bei 2 Prozent Inflation halbiert sich die Kaufkraft nach 35 Jahren. Was Inflation im Einzelnen anrichtet und warum sie nicht jeden gleich trifft, steht an anderer Stelle.

Plausibilitätstest

07Rückwärts gerechnet prüft die Regel ein Versprechen

Die Division lässt sich umdrehen, und in dieser Richtung ist die Regel am schärfsten. Statt aus dem Zins die Jahre zu bestimmen, bestimmst du aus einer versprochenen Verdopplungszeit den Zins, der dahinterstecken müsste. Du teilst 72 durch die Jahre.

Wer eine Verdopplung in sieben Jahren in Aussicht stellt, verspricht damit gut 10 Prozent Rendite pro Jahr, jedes Jahr, über sieben Jahre. Bei zehn Jahren sind es 7,2 Prozent, bei zwanzig Jahren 3,6. Diese Zahlen kannst du sofort gegen das halten, was breit gestreute Aktienmärkte langfristig geliefert haben, und die Frage nach dem Risiko stellt sich von selbst.

Der Test kostet zwei Sekunden und wirkt vor allem dort, wo mit Endbeträgen statt mit Prozentzahlen geworben wird. „Aus 10.000 werden 20.000" sagt nichts, solange der Zeitraum fehlt. Steht er dabei, sagt er alles.

Häufige Fehler

08Was bei der 72er-Regel am häufigsten schiefgeht

Die meisten Fehler entstehen nicht beim Teilen, sondern davor, bei der Frage, welche Zahl überhaupt in die Rechnung gehört. Ein falscher Zinssatz macht das Ergebnis nicht ungenau, sondern beantwortet eine andere Frage als die gestellte.

Der schwerwiegendste Fehler ist der erste in der Liste, weil er einer Faustformel eine Sicherheit unterstellt, die sie nicht hat. Die Regel rechnet mit einem festen Zinssatz. Ein Aktienmarkt liefert keinen Zinssatz, sondern eine Folge von Jahresrenditen, und aus welcher Rechenkonvention eine Durchschnittsrendite entsteht, macht für denselben Index und dasselbe Jahr einen zweistelligen Unterschied. Für ein Sparbuch mit vereinbartem Zins ist die Regel eine Prognose, für ein Depot ist sie eine Größenordnung.

Diese fünf Fehler kosten am meisten:

• Eine Aktienrendite wie einen Zinssatz behandeln. Zehn Jahre mit im Schnitt 7 Prozent können jede Verteilung haben, und die Reihenfolge der guten und schlechten Jahre entscheidet mit, wo du nach zehn Jahren stehst.
• Die Regel auf einen Sparplan anwenden. Sie beschreibt einen einmal angelegten Betrag. Bei monatlichen Raten wächst das Depot überwiegend durch neue Einzahlungen, und die Verdopplung des Gesamtbestands sagt dann nichts über die Rendite.
• Bei niedrigen Prozentsätzen weiter mit 72 rechnen. Bei 2 Prozent Inflation liefert 70 geteilt durch 2 exakt die richtigen 35 Jahre, 72 geteilt durch 2 liegt mit 36 ein volles Jahr daneben.
• Die nominale Verdopplung für einen Kaufkraftgewinn halten. Wenn sich der Betrag in 12 Jahren verdoppelt und die Preise im selben Zeitraum um die Hälfte steigen, hast du nicht doppelt so viel, sondern ein Drittel mehr.
• Die Steuer vergessen. Die Regel rechnet mit der Rendite, die tatsächlich im Depot ankommt. Wer mit der Bruttorendite rechnet, verkürzt jede Verdopplungszeit um mehrere Jahre.

Entscheidungshilfe

09Welche Zahl du in welcher Situation nimmst

Es gibt nicht die eine richtige Faustzahl, sondern drei, die je nach Größenordnung besser treffen. Die Wahl kostet nichts und verbessert das Ergebnis spürbar.

So findest du die passende Zahl:

• Wenn du mit Inflation, Sparzinsen oder Tagesgeld rechnest, also mit ein bis drei Prozent, nimm 70. Sie ist genauso teilbar und trifft in diesem Bereich deutlich besser.
• Wenn du mit einer Aktien- oder Fondsrendite rechnest, also mit sechs bis zehn Prozent, nimm 72. Dafür ist sie gemacht, und der Fehler bleibt unter einem Monat.
• Wenn du deutlich darüber liegst, rechne exakt oder nimm 69,3 plus ein Drittel des Zinssatzes. Bei 15 Prozent ergibt das 74,3, und damit liegst du wieder richtig.
• Wenn du Kaufkraft meinst und nicht den Kontostand, ziehe die Inflation vorher ab und teile erst danach.
• Wenn dir jemand eine Verdopplung in einer bestimmten Zeit verspricht, dreh die Rechnung um und sieh dir an, welche Jahresrendite er damit behauptet.

Was bleibt

10Eine Faustformel ist ein Übersetzer, keine Prognose

Der eigentliche Nutzen der 72er-Regel liegt nicht darin, Endbeträge zu schätzen, dafür ist ein Rechner genauer und schneller. Er liegt darin, dass sie Prozentzahlen in Jahre übersetzt, und Jahre sind die Einheit, in der Menschen tatsächlich planen. Niemand hat ein Gefühl für 1,3 Prozentpunkte laufende Kosten. Jeder hat ein Gefühl für zweieinhalb Jahre.

Und die Antwort auf die Ausgangsfrage taugt über den Zinseszins hinaus. Die 72 hat sich gegen die genauere 69,3 durchgesetzt, weil sie sich teilen lässt. Eine Faustregel wird danach ausgewählt, ob man sie benutzt, nicht danach, wie nah sie an der exakten Rechnung liegt. Wer das umdreht, bekommt eine Regel, die stimmt und die niemand anwendet.